The Lorenz system

4 Phase analysis 5 4.1 Local Stability at The Origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2 Global Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2.1 0 < ρ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2.2 1 < ρ < ρh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3.1 Supercritical pitchfork bifurcation: ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.3.2 Subcritical Hopf-Bifurcation: ρ = ρh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.4 Strange Attracting Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.4.1 Homoclinic Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.4.2 Poincaré Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.4.3 Dynamics at ρ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.4.4 Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.4.5 A Few Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10